国際数学オリンピック · 1979年

問題

第1問正整数 $p$ と $q$ が $\dfrac pq=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots-\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}$ を満たすとする。 $p$ が $1979$ で割り切れることを証明せよ。解答: 1
第2問上底面と下底面が五角形 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 、 $B_1B_2B_3B_4B_5$ である角柱を考える。2つの五角形の各辺と各線分 $A_iB_j$ を赤または緑に塗る。辺がすべて塗られた頂点三角形は必ず異なる色の2辺をもつとする。上下面の10辺がすべて同じ色であることを証明せよ。解答: 1
第3問平面上で2円が交わり、その交点の1つを $A$ とする。2点が同時に $A$ から出発し、それぞれの円周上を同じ向きに一定速度で動く。1周後に同時に $A$ に戻るとき、常に2点から等距離にある固定点 $P$ が存在することを証明せよ。任意の時刻における距離は $P$ から測る。解答: 1
第4問平面 $\pi$ 、その $P$ 上の点 $\pi$ 、平面 $Q$ 外の点 $\pi$ が与えられている。比 $R$ が最大となる $\pi$ 上のすべての点 $\dfrac{QP+PR}{QR}$ を求めよ。解答: 1
第5問非負実数 $a$ が存在して $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 、 $\sum_{k=1}^5kx_k=a$ 、 $\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2$ を満たすような実数 $\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3$ をすべて求めよ。解答: 1
第6問正八角形の対頂点を A,E とする。蛙は A から出発し、E に着くまで隣接頂点へ跳ぶ。ちょうど n 回で E に着く道の数を a_n とすると、 $a_{2n-1}=0$ および $a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}$ （ $n=1,2,3,\ldots$ ）を証明せよ。解答: 1