MathLabs

Bài 3

Tìm giá trị lớn nhất của m2+n2m^2+n^2, trong đó mm và nn là các số nguyên thỏa mãn m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} và (n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1.
Bước 1 trên 6: Các ràng buộc cơ bản trên m,nm,n
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Trước khi tìm cặp cực trị, hãy xác định hình dạng mà mọi nghiệm phải có: nguyên tố cùng nhau, với thành phần thứ hai không nhỏ hơn thành phần đầu.

(n2−mn−m2)2=1  ⟹  gcd⁡(m,n)=1 and n≥m(n^2-mn-m^2)^2=1 \implies \gcd(m,n)=1 \text{ and } n\ge m
Phân tích chi tiết

Bất kỳ ước nguyên tố chung nào của m,nm,n đều có bình phương chia hết n2−mn−m2n^2-mn-m^2, mâu thuẫn với việc đại lượng này bằng ±1\pm1; vậy gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1. Nếu n<mn<m thì n(n−m)−m2≤−n−m2≤−2n(n-m)-m^2\le -n-m^2\le -2, mâu thuẫn với n2−mn−m2=±1n^2-mn-m^2=\pm1. Do đó mọi nghiệm dương đều có n≥mn\ge m.