Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1981

Đề thi

Bài 1Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$ đã cho, và gọi $D$ , $E$ , $F$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $P$ xuống các đường thẳng $BC$ , $CA$ , $AB$ . Tìm tất cả các vị trí của $P$ để $\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF}$ đạt giá trị nhỏ nhất.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n$ và $r$ là các số nguyên với $1 \le r \le n$ , xét tất cả $\binom{n}{r}$ tập con gồm $r$ phần tử của tập $\{1,2,\dots,n\}$ . Mỗi tập con như vậy có một phần tử nhỏ nhất. Gọi $F(n,r)$ là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất đó. Chứng minh rằng $F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.$ Các cách giải: 2
Bài 3Tìm giá trị lớn nhất của $m^2+n^2$ , trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn $m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\}$ và $(n^2-mn-m^2)^2 = 1$ .Các cách giải: 1
Bài 4(a) Với những giá trị nguyên nào của $n>2$ thì tồn tại một tập hợp $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho số lớn nhất trong tập là ước của bội chung nhỏ nhất của $n-1$ số còn lại? (b) Với những giá trị nguyên nào của $n>2$ thì chỉ có đúng một tập hợp như vậy?Các cách giải: 2
Bài 5Ba đường tròn bằng nhau có chung một điểm $O$ và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác, và điểm $O$ thẳng hàng.Các cách giải: 1
Bài 6Hàm số $f(x,y)$ thỏa mãn $f(0,y) = y+1,$ $f(x+1,0) = f(x,1),$ $f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big)$ với mọi số nguyên không âm $x,y$ . Tìm $f(4,1981)$ .Các cách giải: 1