MathLabs

第3問

m2+n2m^2+n^2 の最大値を求めよ。ただし、mm と nn は m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} を満たす整数であり、(n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1 とする。
ステップ 2/6: 再帰的な対称性を見出す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これはまさに代数の中に隠れたフィボナッチの漸化式である：(a,b)↦(b,a+b)(a,b)\mapsto(b,a+b) と進めても解であることは保たれ、n2−mn−m2n^2-mn-m^2 の符号だけが反転する。

(m+k)2−(m+k)m−m2=−(m2−km−k2)(m+k)^2-(m+k)m-m^2 = -\big(m^2-km-k^2\big)
詳しい解説

左辺を展開して整理すると、(k,m)(k,m) が値 ε=±1\varepsilon=\pm1 で定義方程式を満たすならば、(m,m+k)(m,m+k) は値 −ε-\varepsilon でそれを満たすことが分かる。よって (a,b)(a,b) が解であることと (b,a+b)(b,a+b) が符号を反転させた解であることは同値である。