国際数学オリンピック · 1981年

問題

第1問三角形 $ABC$ の内部の点を $P$ とし、 $P$ から直線 $BC$ , $CA$ , $AB$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $D$ , $E$ , $F$ とする。 $\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF}$ が最小となる $P$ の位置をすべて求めよ。解答: 1
第2問 $n$ と $r$ を $1 \le r \le n$ を満たす整数とし、集合 $\{1,2,\dots,n\}$ の $r$ 個の要素からなるすべての部分集合、すなわち $\binom{n}{r}$ 個の部分集合を考える。それぞれの部分集合には最小の要素がある。これらの最小要素の相加平均を $F(n,r)$ とする。 $F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.$ を証明せよ。解答: 2
第3問 $m^2+n^2$ の最大値を求めよ。ただし、 $m$ と $n$ は $m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\}$ を満たす整数であり、 $(n^2-mn-m^2)^2 = 1$ とする。解答: 1
第4問(a) $n>2$ 個の連続する正の整数からなる集合で、その最大の数が残り $n-1$ 個の最小公倍数を割り切るものが存在するのは、どの整数 $n$ か。(b) そのような集合がちょうど一つ存在するのは、どの整数 $n>2$ か。解答: 2
第5問3つの合同な円は共通点 $O$ を持ち、与えられた三角形の内部にある。各円は三角形の2辺に接している。三角形の内心と外心、および点 $O$ が一直線上にあることを証明せよ。解答: 1
第6問関数 $f(x,y)$ はすべての非負整数 $x,y$ に対して次を満たす。 $f(0,y) = y+1,$ $f(x+1,0) = f(x,1),$ $f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big)$ $f(4,1981)$ を求めよ。解答: 1