MathLabs

Bài 3

Xét các dãy vô hạn {xn}\{x_n\} số thực dương sao cho x0=1x_0=1 và x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots. (a) Chứng minh rằng với mọi dãy như vậy tồn tại n≥1n\ge1 sao cho Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. (b) Tìm một dãy sao cho Sn<4S_n<4 với mọi nn.
Bước 2 trên 4: Dùng tính đơn điệu
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Tính đơn điệu kiểm soát mẫu số bằng các số hạng ở giữa.

T=∑i=1n−1xi,xn≤Tn−1,Sn≥(1+T)2T+T/(n−1)=n−1n(1+T)2TT=\sum_{i=1}^{n-1}x_i,\quad x_n\le\frac{T}{n-1},\quad S_n\ge\frac{(1+T)^2}{T+T/(n-1)}=\frac{n-1}{n}\frac{(1+T)^2}{T}
Phân tích chi tiết

Vì x1≥⋯≥xnx_1\ge\cdots\ge x_n, số hạng cuối không lớn hơn trung bình của x1,…,xn−1x_1,\ldots,x_{n-1}. Lại có x0=1x_0=1, nên được chặn trên.