Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1982

Đề thi

Bài 1Hàm $f(n)$ được xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị nguyên không âm. $f(2)=0$ , $f(3)>0$ , $f(9999)=3333$ , và với mọi $m,n$ : $f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1.$ Tính $f(1982)$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác không cân $A_1A_2A_3$ có các cạnh $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , trong đó cạnh $a_i$ đối diện đỉnh $A_i$ . Gọi $M_i$ là trung điểm cạnh $a_i$ , và $T_i$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $A_1A_2A_3$ với cạnh $a_i$ . Kí hiệu $S_i$ là điểm đối xứng của $T_i$ qua đường phân giác trong của góc $A_i$ . Chứng minh rằng các đường thẳng $M_1S_1$ , $M_2S_2$ và $M_3S_3$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 3Xét các dãy vô hạn $\{x_n\}$ số thực dương sao cho $x_0=1$ và $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots$ . (a) Chứng minh rằng với mọi dãy như vậy tồn tại $n\ge1$ sao cho $S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999$ . (b) Tìm một dãy sao cho $S_n<4$ với mọi $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên dương và phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ có một nghiệm nguyên $(x,y)$ thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh khi $n=2891$ thì phương trình không có nghiệm nguyên.Các cách giải: 1
Bài 5Các đường chéo $AC$ và $CE$ của lục giác đều $ABCDEF$ lần lượt được chia bởi các điểm trong $M$ và $N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$ . Tính $r$ nếu $B,M,N$ thẳng hàng.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $S$ là hình vuông có cạnh dài $100$ . Gọi $L$ là một đường gấp khúc kín đơn, không tự cắt, nằm trong $S$ , gồm các đoạn $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ với $A_0=A_n$ . Giả sử mọi điểm $P$ trên biên của $S$ đều cách một điểm nào đó của $L$ không quá $1/2$ . Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $X,Y$ trên $L$ cách nhau không quá $1$ , còn độ dài một trong hai phần của $L$ giữa $X$ và $Y$ ít nhất là $198$ .Các cách giải: 1