MathLabs

Bài 3

Xét các dãy vô hạn {xn}\{x_n\} số thực dương sao cho x0=1x_0=1 và x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots. (a) Chứng minh rằng với mọi dãy như vậy tồn tại n≥1n\ge1 sao cho Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. (b) Tìm một dãy sao cho Sn<4S_n<4 với mọi nn.
Bước 3 trên 4: Kết thúc phần (a) bằng AM-GM
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Mục tiêu 3.9993.999 chỉ thấp hơn hằng số giới hạn 44.

(1+T)2T=T+2+1T≥4,Sn≥4n−1n\frac{(1+T)^2}{T}=T+2+\frac1T\ge4,\quad S_n\ge4\frac{n-1}{n}
Phân tích chi tiết

AM-GM cho T+1/T≥2T+1/T\ge2. Do đó Sn≥4(n−1)/nS_n\ge4(n-1)/n. Với n=4000n=4000, vế phải bằng 3.9993.999 và sau đó còn lớn hơn.