MathLabs

Bài 3

Xét các dãy vô hạn {xn}\{x_n\} số thực dương sao cho x0=1x_0=1 và x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots. (a) Chứng minh rằng với mọi dãy như vậy tồn tại n≥1n\ge1 sao cho Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. (b) Tìm một dãy sao cho Sn<4S_n<4 với mọi nn.
Bước 4 trên 4: Dựng dãy cho phần (b)
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Công bội 1/21/2 làm các số hạng lần lượt là 2,1,1/2,…2,1,1/2,\ldots, tiến tới nhưng không đạt 44.

xi=2−i⟹Sn=2+1+12+⋯+22−n=4−22−n<4x_i=2^{-i}\quad\Longrightarrow\quad S_n=2+1+\frac12+\cdots+2^{2-n}=4-2^{2-n}<4
Phân tích chi tiết

Dãy dương, không tăng và bắt đầu tại x0=1x_0=1. Thay trực tiếp cho tổng hình học ở trên, luôn nhỏ hơn 44.