MathLabs

Bài 4

Chứng minh rằng nếu nn là số nguyên dương và phương trình x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n có một nghiệm nguyên (x,y)(x,y) thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh khi n=2891n=2891 thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Bước 1 trên 3: Viết lại biểu thức với k=y−xk=y-x
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Dạng bậc ba che giấu một chu kỳ ba; hiệu hai tọa độ làm lộ chu kỳ đó.

k=y−x⟹x3−3xy2+y3=k3−3kx2−x3k=y-x\quad\Longrightarrow\quad x^3-3xy^2+y^3=k^3-3kx^2-x^3
Phân tích chi tiết

Thay y=x+ky=x+k rồi khai triển, phương trình trở thành k3−3kx2−x3=nk^3-3kx^2-x^3=n.