MathLabs

Bài 4

Chứng minh rằng nếu nn là số nguyên dương và phương trình x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n có một nghiệm nguyên (x,y)(x,y) thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh khi n=2891n=2891 thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Bước 2 trên 3: Tạo chu kỳ ba nghiệm
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một đối xứng có cấp hữu hạn biến một nghiệm thành quỹ đạo gồm ba phần tử.

(x,y)↦(k,−x)↦(−x−k,−k)↦(x,y)(x,y)\mapsto(k,-x)\mapsto(-x-k,-k)\mapsto(x,y)
Phân tích chi tiết

Phương trình đã viết lại cho thấy (k,−x)(k,-x) cũng là nghiệm. Áp dụng quy tắc lần nữa được (−x−k,−k)(-x-k,-k), và lần thứ ba trở lại (x,y)(x,y). Nếu hai nghiệm trùng nhau thì mọi tọa độ phải bằng n=0n=0, suy ra nn, trái với ; vậy chúng phân biệt.