MathLabs

Bài 4

Chứng minh rằng nếu nn là số nguyên dương và phương trình x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n có một nghiệm nguyên (x,y)(x,y) thì nó có ít nhất ba nghiệm như vậy. Chứng minh khi n=2891n=2891 thì phương trình không có nghiệm nguyên.
Bước 3 trên 3: Loại n=2891n=2891 bằng modulo 77
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một modulo nhỏ phát hiện nhân tử chung bắt buộc; bậc ba khuếch đại nó thành tính chia hết không thể xảy ra.

2891≡0(mod7),x3−3xy2+y3≡0(mod7)⟹x≡y≡0(mod7)2891\equiv0\pmod7,\quad x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7\Longrightarrow x\equiv y\equiv0\pmod7
Phân tích chi tiết

Vì 2891=7⋅4132891=7\cdot413, mọi nghiệm phải thỏa x3−3xy2+y3≡0(mod7)x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7. Kiểm tra bảy lớp thặng dư (như trong nguồn) cho thấy chỉ có x≡y≡0(mod7)x\equiv y\equiv0\pmod7. Khi đó 77 chia cả xx, nên mọi hạng của biểu thức bậc ba chia hết cho yy, buộc 737^3, điều sai. 73∣28917^3\mid2891