第1問

正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数

f

で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数

x, y

に対して

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii)

x \to \infty

のとき

f(x) \to 0

。

ステップ 1/6:

x=1

とおく

ざっくり言うと

この一つの代入だけで $f\circ f$ が定数 $f(1)$ を除いて恒等写像と結びつく—— $f$ が対合写像に近いことを強く示唆している。

f(f(y)) = y f(1)

詳しい解説

(i) に $x=1$ を代入すると、すべての正の実数 $y$ に対して $f(f(y)) = y f(1)$ が得られる。