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国際数学オリンピック · 1983年

問題

  1. 第1問正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数 ff で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数 x,yx, y に対して f(xf(y))=yf(x)f(xf(y)) = yf(x);(ii) x→∞x \to \infty のとき f(x)→0f(x) \to 0。解答: 1
  2. 第2問AA を、中心がそれぞれ O1,O2O_1,O_2 である異なる同一平面上の円 C1,C2C_1,C_2 の二つの交点の一つとする。一方の共通接線は P1,P2P_1,P_2 で接し、他方は Q1,Q2Q_1,Q_2 で接する。M1,M2M_1,M_2 をそれぞれ P1Q1,P2Q2P_1Q_1,P_2Q_2 の中点とする。∠O1AO2=∠M1AM2\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2 を証明せよ。解答: 1
  3. 第3問a,b,ca,b,c を、どの二つも 11 より大きい公約数を持たない正整数とする。x,y,zx,y,z が非負整数のとき、xbc+yca+zabxbc+yca+zab の形で表せない最大の整数が 2abc−ab−bc−ca2abc-ab-bc-ca であることを示せ。解答: 1
  4. 第4問ABCABC を正三角形、E\mathcal E をその三辺の和集合とする。E\mathcal E を二つの互いに素な部分集合に分割したとき、常に一方が直角三角形の三頂点を含むかどうかを判定し、理由を示せ。解答: 1
  5. 第5問10510^5 以下の相異なる正整数を 19831983 個選び、その中のどの三つも等差数列の連続する三項にならないようにできるか。理由を示せ。解答: 1
  6. 第6問a,b,ca,b,c を三角形の辺の長さとする。a2b(a−b)+b2c(b−c)+c2a(c−a)≥0a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0 を証明し、等号成立条件を求めよ。解答: 1