Bài 1

Cho

x,y,z

là các số thực không âm thỏa mãn

x+y+z=1

. Chứng minh rằng

0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}

Bước 3 trên 4: Xét hai dấu

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Hàm tuyến tính trên một khoảng đạt cực đại ở một đầu mút; dấu của hệ số cho biết phải chọn đầu mút nào.

s\le\frac12:\ f\le s(1-s)\le\frac14<\frac7{27};\qquad s\ge\frac12:\ f\le g(s)=\frac12s^3-\frac54s^2+s

Khoảng cách của đa thức bậc ba với cận trên trên khoảng cần xét.

Phân tích chi tiết

Nếu $s\le1/2$ , hệ số của $p$ không dương nên cực đại đạt khi $p=0$ . Nếu $s\ge1/2$ , hệ số ấy không âm nên cực đại đạt khi $p=s^2/4$ , cho đa thức bậc ba $g$ như trên.