国際数学オリンピック · 1984年

問題

第1問 $x,y,z$ を非負実数で $x+y+z=1$ を満たすものとする。 $0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$ を示せ。解答: 1
第2問 $ab(a+b)$ が $7$ で割り切れない一組の正整数 $a,b$ で、 $(a+b)^7-a^7-b^7$ が $7^7$ で割り切れるものを一つ求めよ。解答: 1
第3問平面上の点 $O$ と $A$ を固定し、平面の各点を有限個の色のいずれかで塗る。点 $X$ に対し、 $C(X)$ を中心 $O$ 、半径 $OX+\frac{\angle AOX}{OX}$ の円とする。ただし $\angle AOX$ はラジアンで $\left[0,2\pi\right)$ の範囲で測る。 $OA$ 上にない点 $X$ で、 $X$ の色が円 $C(X)$ の円周上にも現れるものが存在することを示せ。解答: 1
第4問凸四辺形 ABCD で、CD が直径 AB の円に接するとする。AB が直径 CD の円にも接することと、 $BC\parallel AD$ が同値であることを証明せよ。解答: 1
第5問平面凸 n 角形（n>3）の全対角線の長さの和を d、周長を p とする。 $n-3<\frac{2d}{p}<\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor-2$ を証明せよ。解答: 1
第6問奇整数 a,b,c,d が $0<a<b<c<d$ と $ad=bc$ を満たすとする。 $a+d=2^k$ 、 $b+c=2^m$ ならば $a=1$ を証明せよ。解答: 1