Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1984

Đề thi

Bài 1Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Chứng minh rằng $0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$ .Các cách giải: 1
Bài 2Tìm một cặp số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab(a+b)$ không chia hết cho $7$ , nhưng $(a+b)^7-a^7-b^7$ chia hết cho $7^7$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho hai điểm $O$ và $A$ trên mặt phẳng; mọi điểm được tô bằng một trong hữu hạn màu. Với điểm $X$ , gọi $C(X)$ là đường tròn tâm $O$ , bán kính $OX+\frac{\angle AOX}{OX}$ , trong đó $\angle AOX$ đo bằng radian thuộc $\left[0,2\pi\right)$ . Chứng minh tồn tại điểm $X$ không nằm trên $OA$ sao cho màu của $X$ xuất hiện trên đường tròn $C(X)$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho tứ giác lồi ABCD sao cho CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD khi và chỉ khi $BC\parallel AD$ .Các cách giải: 1
Bài 5Gọi d là tổng độ dài các đường chéo của đa giác lồi n đỉnh, n>3, và p là chu vi. Chứng minh $n-3<\frac{2d}{p}<\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor-2$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho a,b,c,d là các số nguyên lẻ với $0<a<b<c<d$ và $ad=bc$ . Chứng minh nếu $a+d=2^k$ và $b+c=2^m$ thì $a=1$ .Các cách giải: 1