MathLabs

Bài 1

Cho x,y,zx,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1x+y+z=1. Chứng minh rằng 0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}.
Bước 4 trên 4: Phân tích đa thức cuối
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nhân tử bình phương ghi nhận điểm cân bằng: cận trên chỉ đạt được khi ba biến bằng nhau.

727−g(s)=−(3s−2)2(6s−7)108≥0(12≤s≤1)\frac7{27}-g(s)=-\frac{(3s-2)^2(6s-7)}{108}\ge0\quad(\tfrac12\le s\le1)
Phân tích chi tiết

Trên [1/2,1][1/2,1], bình phương không âm và 6s−7<06s-7<0, nên biểu thức đã phân tích là không âm. Đẳng thức xảy ra khi s=2/3s=2/3, p=s2/4p=s^2/4, tức x=y=z=1/3x=y=z=1/3.