MathLabs

Bài 3

Cho hai điểm OO và AA trên mặt phẳng; mọi điểm được tô bằng một trong hữu hạn màu. Với điểm XX, gọi C(X)C(X) là đường tròn tâm OO, bán kính OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX}, trong đó ∠AOX\angle AOX đo bằng radian thuộc [0,2π)\left[0,2\pi\right). Chứng minh tồn tại điểm XX không nằm trên OAOA sao cho màu của XX xuất hiện trên đường tròn C(X)C(X).
Bước 1 trên 6: Chọn các bán kính lồng nhau
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các bán kính tăng mãi nhưng vẫn bị chặn, nên luôn đủ khoảng góc để mã hóa mọi đường tròn về sau.

an=2−n−1,ri=∑t=1iat,(∑n≥1an)2<2πa_n=2^{-n-1},\quad r_i=\sum_{t=1}^{i}a_t,\quad \left(\sum_{n\ge1}a_n\right)^2<2\pi
Tia chuẩn OA và một góc cực mẫu.
Đường tròn đơn vị với hướng chuẩn OA và một góc được đánh dấu.
Phân tích chi tiết

Chọn một dãy dương có bình phương của tổng nhỏ hơn 2π2\pi, chẳng hạn dãy hình học trên. Gọi đường tròn tâm OO bán kính rir_i là Ci\mathcal C_i.