MathLabs

Bài 3

Cho hai điểm OO và AA trên mặt phẳng; mọi điểm được tô bằng một trong hữu hạn màu. Với điểm XX, gọi C(X)C(X) là đường tròn tâm OO, bán kính OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX}, trong đó ∠AOX\angle AOX đo bằng radian thuộc [0,2π)\left[0,2\pi\right). Chứng minh tồn tại điểm XX không nằm trên OAOA sao cho màu của XX xuất hiện trên đường tròn C(X)C(X).
Bước 6 trên 6: Loại hết mọi màu
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Một số màu hữu hạn không thể hỗ trợ vô hạn màu mới bị cấm; mâu thuẫn buộc phải có điểm phù hợp.

c1,…,cn all forbidden on one infinite family of circles ⇒ contradictionc_1,\ldots,c_n\text{ all forbidden on one infinite family of circles}\ \Rightarrow\ \text{contradiction}
Phân tích chi tiết

Sau đúng nn màu khả dụng, quy nạp cho một đường tròn trong họ vô hạn còn lại mà trên đó không màu nào trong nn màu được xuất hiện. Điều này bất khả vì mọi điểm trên mặt phẳng đều mang một trong các màu ấy. Vậy giả sử ban đầu sai và điểm ngoài OA cần tìm tồn tại.