Bài 2

Cho

n

và

k

là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với

k < n

. Tập

M = \{1, 2, \ldots, n-1\}

được tô bởi hai màu, mỗi số một màu xanh hoặc trắng, sao cho: (i) với mỗi

i \in M

, hai số

i

và

n-i

cùng màu; và (ii) với mỗi

i \in M

mà

i \ne k

, hai số

i

và

|i-k|

cùng màu. Chứng minh rằng mọi số trong

M

đều cùng một màu.

Bước 3 trên 5: Trường hợp một: áp dụng trực tiếp quy tắc (ii)

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Nếu điểm thứ hai chỉ đơn giản là điểm đầu cộng thêm bước nhảy $k$ , thì quy tắc (ii) — vốn liên kết một số với chính nó trừ đi $k$ — cho ngay sự kiện cùng màu.

s=r+k \ \Longrightarrow\ |s-k|=r \ \Longrightarrow\ \text{color}(s)=\text{color}(r)

Phân tích chi tiết

Viết $r=r_i$ , $s=r_{i+1}$ . Nếu $s=r+k$ thì $|s-k|=r$ , nên áp dụng quy tắc tô màu (ii) cho $i=s$ (hợp lệ vì $s\ne k$ , do trong dãy này chỉ có đúng một chỉ số bằng $k$ ) cho ngay kết quả $s$ và $r=|s-k|$ cùng màu.