Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1985

Đề thi

Bài 1Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $AB$ của tứ giác nội tiếp $ABCD$ . Ba cạnh còn lại đều tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng minh rằng $AD + BC = AB$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $k < n$ . Tập $M = \{1, 2, \ldots, n-1\}$ được tô bởi hai màu, mỗi số một màu xanh hoặc trắng, sao cho: (i) với mỗi $i \in M$ , hai số $i$ và $n-i$ cùng màu; và (ii) với mỗi $i \in M$ mà $i \ne k$ , hai số $i$ và $|i-k|$ cùng màu. Chứng minh rằng mọi số trong $M$ đều cùng một màu.Các cách giải: 1
Bài 3Với đa thức hệ số nguyên $P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$ , gọi $w(P)$ là số hệ số lẻ. Đặt $Q_i(x)=(1+x)^i$ với $i=0,1,2,\ldots$ . Chứng minh rằng nếu $0\le i_1<i_2<\cdots<i_n$ thì $w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1})$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho một tập $M$ gồm $1985$ số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn $23$ . Chứng minh rằng $M$ chứa bốn phần tử phân biệt có tích là lũy thừa bậc bốn của một số nguyên.Các cách giải: 1
Bài 5Một đường tròn tâm $O$ đi qua các đỉnh $A$ , $C$ của tam giác $ABC$ và cắt các đoạn $AB$ , $BC$ lần nữa tại các điểm phân biệt $K$ , $N$ . Các đường tròn ngoại tiếp của $ABC$ và $KBN$ cắt nhau đúng tại hai điểm phân biệt $B$ , $M$ . Chứng minh rằng $\angle OMB$ là góc vuông.Các cách giải: 1
Bài 6Với mọi số thực $x_1$ , lập dãy bởi $x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)$ . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một giá trị $x_1$ sao cho $0<x_n<x_{n+1}<1$ với mọi $n$ .Các cách giải: 1