Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1988

Đề thi

Bài 1Hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R>r$ . P cố định trên đường tròn nhỏ, B chạy trên đường tròn lớn. BP cắt đường tròn lớn lần nữa tại C; đường qua P vuông góc BP cắt đường tròn nhỏ lần nữa tại A (nếu tiếp tuyến thì A=P). (i) Tìm tập giá trị $AB^2+BC^2+CA^2$ . (ii) Tìm quỹ tích trung điểm BC.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n$ là số nguyên dương và $A_1,\ldots,A_{2n+1}$ là các tập con của $B$ . Mỗi $A_i$ có đúng $2n$ phần tử, hai tập $A_i$ khác nhau có đúng một phần tử chung, và mỗi phần tử của $B$ thuộc ít nhất hai tập $A_i$ . Với những $n$ nào có thể gán nhãn 0 hoặc 1 cho mỗi phần tử sao cho mỗi $A_i$ có đúng $n$ phần tử mang nhãn 0?Các cách giải: 1
Bài 3Hàm $f$ trên các số nguyên dương được xác định bởi $f(1)=1$ , $f(3)=3$ , $f(2n)=f(n)$ , $f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)$ và $f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)$ . Tìm số số nguyên dương $n\le1988$ sao cho $f(n)=n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh tập nghiệm của bất đẳng thức $\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\ge\frac{5}{4}$ là hợp của các khoảng rời nhau có tổng độ dài bằng $1988$ .Các cách giải: 1
Bài 5 $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , và $AD$ là đường cao xuống cạnh huyền. Đường nối tâm nội tiếp của $ABD$ và $ACD$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $K,L$ . Nếu $S$ và $T$ là diện tích của $ABC$ và $AKL$ , chứng minh $S\ge2T$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $ab+1$ chia hết $a^2+b^2$ . Chứng minh $(a^2+b^2)/(ab+1)$ là bình phương của một số nguyên.Các cách giải: 1