MathLabs

Bài 1

Chứng minh rằng tập hợp {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} có thể viết thành hợp của 117117 tập con đôi một rời nhau A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117}, mỗi tập có đúng 1717 phần tử, sao cho tổng các phần tử của mỗi AiA_i đều bằng nhau.
Bước 1 trên 5: Tìm tổng mục tiêu cho mỗi khối
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hãy hình dung 19891989 số như những quả cân cần chia đều lên 117117 đĩa cân; phép tính số học cho biết ngay mỗi đĩa phải nặng bao nhiêu trước khi ta bận tâm số nào nằm ở đĩa nào.

∑i=11989i=1989×19902=1989×995,1989×995117=17×995=16915\sum_{i=1}^{1989} i = \frac{1989 \times 1990}{2} = 1989 \times 995, \qquad \frac{1989\times 995}{117} = 17 \times 995 = 16915
Phân tích chi tiết

Nếu {1,…,1989}\{1,\ldots,1989\} được chia thành 117117 khối gồm 1717 số có cùng tổng, thì tổng chung đó phải bằng tổng toàn phần 1989×19902=1989×995\frac{1989\times1990}{2}=1989\times995 chia cho 117117, tức là 17×995=1691517\times995=16915. Để ý 995995 chính là trung bình cộng của 11 và 19891989, nên mục tiêu tự nhiên là: mười bảy số có trung bình bằng 995995.