Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1989

Đề thi

Bài 1Chứng minh rằng tập hợp $\{1, 2, \ldots, 1989\}$ có thể viết thành hợp của $117$ tập con đôi một rời nhau $A_1, A_2, \ldots, A_{117}$ , mỗi tập có đúng $17$ phần tử, sao cho tổng các phần tử của mỗi $A_i$ đều bằng nhau.Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác nhọn $ABC$ . Đường phân giác trong của góc $A$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A_1$ ; các điểm $B_1$ , $C_1$ được định nghĩa tương tự. Gọi $A_0$ là giao điểm của đường thẳng $AA_1$ với các đường phân giác ngoài của góc $B$ và góc $C$ ; các điểm $B_0$ , $C_0$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng diện tích tam giác $A_0B_0C_0$ gấp đôi diện tích lục giác $AC_1BA_1CB_1$ , và diện tích đó không nhỏ hơn bốn lần diện tích tam giác $ABC$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương, và $S$ là tập gồm $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào của $S$ thẳng hàng. Giả sử với mỗi điểm $P\in S$ có ít nhất $k$ điểm của $S$ cách đều $P$ . Chứng minh rằng $k<\frac12+\sqrt{2n}$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AB=AD+BC$ . Giả sử điểm $P$ nằm trong tứ giác, cách đường thẳng $CD$ một khoảng $h$ , đồng thời $AP=h+AD$ và $BP=h+BC$ . Chứng minh rằng $\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}$ .Các cách giải: 1
Bài 5Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp, không số nào là số nguyên tố hay lũy thừa của một số nguyên tố.Các cách giải: 1
Bài 6Một hoán vị $(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})$ của $\{1,2,\ldots,2n\}$ có tính chất $P$ nếu $|x_i-x_{i+1}|=n$ với ít nhất một $i\in\{1,\ldots,2n-1\}$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , số hoán vị có tính chất $P$ lớn hơn số hoán vị không có tính chất đó.Các cách giải: 1