MathLabs

Bài 1

Chứng minh rằng tập hợp {1,2,…,1989}\{1, 2, \ldots, 1989\} có thể viết thành hợp của 117117 tập con đôi một rời nhau A1,A2,…,A117A_1, A_2, \ldots, A_{117}, mỗi tập có đúng 1717 phần tử, sao cho tổng các phần tử của mỗi AiA_i đều bằng nhau.
Bước 2 trên 5: Ghép mỗi số với ảnh đối xứng của nó qua 995
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hãy tưởng tượng các số được xếp đối xứng quanh 995995 trên một trục số: gấp trục số lại tại 995995 sẽ khớp rr với 1990−r1990-r một cách hoàn hảo, chỉ còn điểm gấp là không có cặp.

{1,…,1989}={995}∪⋃r=1994{r, 1990−r}\{1,\ldots,1989\} = \{995\} \cup \bigcup_{r=1}^{994} \{r,\ 1990-r\}
Phân tích chi tiết

Ngoài số ở giữa 995995, mọi số r∈{1,…,1989}r\in\{1,\ldots,1989\} khác đều có một số bạn 1990−r1990-r cũng nằm trong khoảng đó, và r+(1990−r)=1990r+(1990-r)=1990. Điều này chia 19881988 số còn lại thành 994994 cặp, mỗi cặp có tổng 19901990, tức đúng gấp đôi trung bình 995995. Thêm cả một cặp vào một tập hợp bất kỳ sẽ làm tổng của nó tăng đúng 19901990 — đây chính là công cụ then chốt để cân bằng 117117 khối về sau.