MathLabs

Bài 6

Một hoán vị (x1,x2,…,x2n)(x_1,x_2,\ldots,x_{2n}) của {1,2,…,2n}\{1,2,\ldots,2n\} có tính chất PP nếu ∣xi−xi+1∣=n|x_i-x_{i+1}|=n với ít nhất một i∈{1,…,2n−1}i\in\{1,\ldots,2n-1\}. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương nn, số hoán vị có tính chất PP lớn hơn số hoán vị không có tính chất đó.
Bước 1 trên 5: Mã hóa tính chất P thành các biến cố
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Mỗi khả năng kề nhau có hiệu nn là một biến cố; tính chất PP là hợp của chúng.

Ak={π:k and k+n are adjacent},P=⋃k=1nAkA_k=\{\pi: k\text{ and }k+n\text{ are adjacent}\},\qquad P=\bigcup_{k=1}^{n}A_k
Phân tích chi tiết

Với 1≤k≤n1\le k\le n, gọi AkA_k là tập các hoán vị trong đó hai số kk và k+nk+n ở vị trí kề nhau. Có tính chất PP nghĩa là thuộc ít nhất một tập như vậy, nên các hoán vị cần xét tạo thành A=⋃k=1nAkA=\bigcup_{k=1}^n A_k.