Bài 6

Với mỗi số nguyên dương

n

, gọi

S(n)

là số nguyên lớn nhất sao cho mọi

k\le S(n)

đều cho phép viết

n^2

thành tổng của

k

bình phương dương. (a) Chứng minh

S(n)\le n^2-14

với

n\ge4

; (b) tìm

n

đạt đẳng thức; (c) chứng minh có vô hạn số

n

như vậy.

Bước 1 trên 5: Chứng minh cận trên tổng quát

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Chứng minh cận trên tổng quát

13=3a+8b+15c+\cdots

Phân tích chi tiết

Đặt $N=n^2$ . Nếu biểu diễn N bằng $N-13$ bình phương dương thì phần dư so với từng ấy số một là $13$ . Các phần dư có thể dùng là $3,8,15,\ldots$ , nên $13=3a+8b+15c+\cdots$ . Vì $15>13$ , còn $13=3a+8b$ vô nghiệm. Vậy $N-13$ bất khả và $S(n)\le N-14$ .