MathLabs

国際数学オリンピック · 1992年

問題

  1. 第1問1<a<b<c1<a<b<c を満たす整数a,b,cで、(a−1)(b−1)(c−1)(a-1)(b-1)(c-1) が abc−1abc-1 の約数となるものをすべて求めよ。 解答: 1
  2. 第2問関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R で、すべての実数 x,yx,y に対して f(x2+f(y))=y+f(x)2f(x^2+f(y))=y+f(x)^2 を満たすものをすべて求めよ。解答: 1
  3. 第3問9個の空間内の点を考え、4点が同一平面上にないとする。各点対を赤、青、または無色の辺で結ぶ。ちょうど nn 本の辺を彩色したとき必ず3辺が同色の三角形が存在するような最小の nn を求めよ。 解答: 1
  4. 第4問C\mathcal C を直線 LL に接する円とし、M∈LM\in L とする。MM から等距離にある相異なる点 Q,R∈LQ,R\in L が存在し、C\mathcal C が三角形 PQRPQR の内接円となるような点 PP の軌跡を求めよ。解答: 1
  5. 第5問SS を空間内の有限点集合とし、Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_z をそれぞれ yzyz-、zxzx-、xyxy-平面への正射影とする。∣S∣2≤∣Sx∣∣Sy∣∣Sz∣|S|^2\le |S_x||S_y||S_z| を証明せよ。 解答: 1
  6. 第6問正整数 nn ごとに、最大整数 S(n)S(n) を、すべての k≤S(n)k\le S(n) について n2n^2 を kk 個の正の平方の和に書けるように定める。(a) S(n)≤n2−14S(n)\le n^2-14 を n≥4n\ge4 で示せ。(b) 等号となる nn を求めよ。(c) そのような nn が無限に存在することを示せ。解答: 1