MathLabs

Bài 4

Với ba điểm A,B,CA,B,C trên mặt phẳng, gọi m(ABC)m(ABC) là độ dài nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác ABCABC, và đặt m(ABC)=0m(ABC)=0 nếu ba điểm thẳng hàng. Cho A,B,CA,B,C, chứng minh rằng với mọi điểm XX, m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).
Bước 4 trên 5: Thu gọn điểm X ở ngoài
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Đưa điểm ngoài về cạnh đối diện không làm giảm các đường cao nhỏ nhất liên quan.

m(ABX)+m(ACX)≥m(ABD)+m(ACD)m(ABX)+m(ACX)\ge m(ABD)+m(ACD)
Phân tích chi tiết

Nếu X ở ngoài, chọn A là điểm xa X nhất trong A,B,C. Nếu tứ giác ABCX lõm, một đỉnh (chẳng hạn B) nằm trong tam giác ACX; so sánh các tia thích hợp cho m(ACX) không nhỏ hơn m(ABC). Nếu ABCX lồi, đặt D=AX giao BC. Xét lần lượt đỉnh tạo đường cao nhỏ nhất cho thấy m(ABX) không nhỏ hơn m(ABD), tương tự m(ACX) không nhỏ hơn m(ACD).