Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1993

Đề thi

Bài 1Cho $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ , trong đó $n>1$ là số nguyên. Chứng minh rằng $f(x)$ không thể viết thành tích của hai đa thức không hằng có hệ số nguyên.Các cách giải: 2
Bài 2Cho $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle ADB=\angle ACB+\frac{\pi}{2}$ và $AC\cdot BD=AD\cdot BC$ . (a) Tính tỉ số $\frac{AB\cdot CD}{AC\cdot BD}$ . (b) Chứng minh các tiếp tuyến tại $C$ của các đường tròn ngoại tiếp $\triangle ACD$ và $\triangle BCD$ vuông góc.Các cách giải: 3
Bài 3Trên bàn cờ vô hạn, ban đầu có $n^2$ quân trong một khối $n$ bởi $n$ , mỗi ô một quân. Một nước đi là nhảy ngang hoặc dọc qua một ô kề đang có quân tới ô trống ngay phía sau, rồi bỏ quân bị nhảy qua. Tìm các giá trị $n$ để ván chơi có thể kết thúc chỉ còn một quân.Các cách giải: 1
Bài 4Với ba điểm $A,B,C$ trên mặt phẳng, gọi $m(ABC)$ là độ dài nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác $ABC$ , và đặt $m(ABC)=0$ nếu ba điểm thẳng hàng. Cho $A,B,C$ , chứng minh rằng với mọi điểm $X$ , $m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ . Hãy xác định có tồn tại hàm tăng nghiêm ngặt $f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$ sao cho (i) $f(1)=2$ ; (ii) $f(f(n))=f(n)+n$ , $(n\in\mathbb{N})$ hay không.Các cách giải: 1
Bài 6Có $n$ đèn $L_0,\ldots,L_{n-1}$ trên một vòng tròn, trong đó $n>1$ và $L_{n+k}=L_k$ . Ở bước $s_i$ , nếu $L_{i-1}$ sáng thì đổi trạng thái $L_i$ , còn không thì không làm gì. Ban đầu mọi đèn đều sáng. Chứng minh (a) tồn tại số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước mọi đèn lại sáng; (b) nếu $n=2^k$ , có thể lấy $M(n)=n^2-1$ ; (c) nếu $n=2^k+1$ , có thể lấy $M(n)=n^2-n+1$ .Các cách giải: 1