MathLabs

Bài 4

Với ba điểm A,B,CA,B,C trên mặt phẳng, gọi m(ABC)m(ABC) là độ dài nhỏ nhất trong ba đường cao của tam giác ABCABC, và đặt m(ABC)=0m(ABC)=0 nếu ba điểm thẳng hàng. Cho A,B,CA,B,C, chứng minh rằng với mọi điểm XX, m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)m(ABC)\le m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).
Bước 5 trên 5: Kết thúc bằng trường hợp trong
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Trường hợp ngoài được đưa về trường hợp đã giải bằng tính cộng diện tích.

m(ABD)+m(ACD)+m(BCD)≥m(ABC)m(ABD)+m(ACD)+m(BCD)\ge m(ABC)
Phân tích chi tiết

Điểm D nằm trên BC, nên trường hợp trong/biên đã chứng minh áp dụng cho D cho bất đẳng thức trên (tam giác suy biến BCD đóng góp 0). Kết hợp với bước thu gọn ngoài, ta được kết luận cho mọi X.