MathLabs

Bài 5

Cho N={1,2,3,…}\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}. Hãy xác định có tồn tại hàm tăng nghiêm ngặt f:N↦Nf:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N} sao cho (i) f(1)=2f(1)=2; (ii) f(f(n))=f(n)+nf(f(n))=f(n)+n, (n∈N)(n\in\mathbb{N}) hay không.
Bước 1 trên 5: Định nghĩa hàm ứng viên
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Tỉ lệ vàng là hệ số góc mà phép hợp thành của nó tái tạo phép cộng.

φ=1+52,f(n)=⌊φn+φ−1⌋\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad f(n)=\lfloor\varphi n+\varphi-1\rfloor
Phân tích chi tiết

Gọi phi là tỉ lệ vàng và định nghĩa f bằng công thức lấy phần nguyên trên. Vì phi lớn hơn 1, tăng n lên 1 làm biểu thức trong tăng hơn 1, nên f tăng nghiêm ngặt.