MathLabs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1994

Đề thi

  1. Bài 1Cho a1,…,ama_1,\ldots,a_m là các phần tử phân biệt của {1,…,n}\{1,\ldots,n\} sao cho nếu ai+aj≤na_i+a_j\le n (với i≤ji\le j) thì tổng đó cũng là một trong các aka_k. Chứng minh a1+⋯+amm≥n+12\frac{a_1+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Trong tam giác cân ABCABC với AB=ACAB=AC, gọi MM là trung điểm của BCBC và lấy O∈AMO\in AM sao cho OB⊥ABOB\perp AB. Với Q∈BCQ\in BC, gọi E∈ABE\in AB và F∈ACF\in AC là hai điểm phân biệt thẳng hàng với QQ. Chứng minh OQ⊥EFOQ\perp EF khi và chỉ khi QE=QFQE=QF.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Với số nguyên dương kk, gọi f(k)f(k) là số lượng số nguyên trong {k+1,…,2k}\{k+1,\ldots,2k\} có biểu diễn nhị phân đúng ba chữ số 11. Chứng minh mọi số nguyên dương mm đều đạt được dưới dạng f(k)f(k), và xác định các mm mà chỉ có đúng một kk thỏa f(k)=mf(k)=m.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Tìm tất cả các cặp có thứ tự (m,n)(m,n) gồm các số nguyên dương sao cho n3+1mn−1\frac{n^3+1}{mn-1} là một số nguyên.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Gọi SS là tập các số thực lớn hơn −1-1. Tìm mọi hàm f:S→Sf:S\to S sao cho f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x) với mọi x,y∈Sx,y\in S, và f(x)x\frac{f(x)}{x} tăng nghiêm ngặt trên mỗi khoảng −1<x<0-1<x<0 và 0<x0<x.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Chứng minh tồn tại một tập AA các số nguyên dương có tính chất sau: với mọi tập vô hạn SS các số nguyên tố, tồn tại hai số nguyên dương m∈Am\in A và n∉An\notin A, mỗi số đều là tích của kk phần tử phân biệt của SS với một k≥2k\ge2.Các cách giải: 1