MathLabs

Bài 2

Trong tam giác cân ABCABC với AB=ACAB=AC, gọi MM là trung điểm của BCBC và lấy O∈AMO\in AM sao cho OB⊥ABOB\perp AB. Với Q∈BCQ\in BC, gọi E∈ABE\in AB và F∈ACF\in AC là hai điểm phân biệt thẳng hàng với QQ. Chứng minh OQ⊥EFOQ\perp EF khi và chỉ khi QE=QFQE=QF.
Bước 4 trên 4: Kết thúc bằng phản chứng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nếu hai đường qua Q khác nhau, các cạnh AB và AC sẽ bị buộc song song.

△QEE′≅△QFF′⇒AB∥AC\triangle QEE'\cong\triangle QFF'\Rightarrow AB\parallel AC
Phân tích chi tiết

Vì E,Q,FE,Q,F và E′,Q,F′E',Q,F' thẳng hàng, cùng với QE=QFQE=QF và QE′=QF′QE'=QF', hai tam giác QEE′QEE' và QFF′QFF' bằng nhau theo c.g.c. (các góc xen giữa tại QQ bằng nhau). Suy ra ∠QEE′=∠QFF′\angle QEE'=\angle QFF'. Nhưng EE′⊂ABEE'\subset AB, FF′⊂ACFF'\subset AC, còn EQEQ và FQFQ nằm trên cùng một đường thẳng theo hai hướng đối nhau; các góc bằng nhau sẽ buộc AB∥ACAB\parallel AC, mâu thuẫn với tam giác không suy biến. Vậy EFEF phải vuông góc với OQOQ.