Bài 6

Chứng minh tồn tại một tập

A

các số nguyên dương có tính chất sau: với mọi tập vô hạn

S

các số nguyên tố, tồn tại hai số nguyên dương

m\in A

và

n\notin A

, mỗi số đều là tích của

k

phần tử phân biệt của

S

với một

k\ge2

Bước 4 trên 4: Dựng phần tử không thuộc A

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Dịch khối làm thay đổi thừa số nhỏ nhất nhưng không đổi độ dài.

n=s_2s_3\cdots s_{k+1}\notin A

Phân tích chi tiết

Lấy $n=s_2s_3\cdots s_{k+1}$ . Đây là tích của $k\ge2$ phần tử phân biệt của $S$ , nhưng thừa số nguyên tố nhỏ nhất là $s_2>s_1=k$ , trong khi vẫn có $k$ thừa số. Vậy $n\notin A$ , chứng minh tính chất cần có.