MathLabs

Bài 2

Cho n≥2 n\ge2 be a fixed nguyên. (a) Find least hằng số C C sao cho với mọi nonnegative số thực x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) Xác định when equality occurs cho thlà value của C C .
Bước 1 trên 5: Find sharp candidate
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

A two-variable test gives lower bound.

C≥1/8C\ge1/8
Phân tích chi tiết

Bản dịch: Take x1=x2=1 x_1=x_2=1 và tất cả other variables zero. The left side là 22 và (∑xi)4=16(\sum x_i)^4=16, so any valid hằng số satisfies C≥1/8 C\ge1/8.