MathLabs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1999

Đề thi

  1. Bài 1Xác định tất cả finite sets S S của tại least three điểms trong plane which satisfy following condition: Fhoặc any two distinct điểms A A và B B trong S S , perpendicular bisecthoặc của đường thẳng segment AB AB là an axlà của symmetry của S S .Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho n≥2 n\ge2 be a fixed nguyên. (a) Find least hằng số C C sao cho với mọi nonnegative số thực x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) Xác định when equality occurs cho thlà value của C C .Các cách giải: 1
  3. Bài 3Bản dịch: Consider an n×n n\times n bình phương bảng, trong đó n n là a fixed even số nguyên dương. The bảng là divided inđến n2 n^2 unit bình phươngs. We say thtại two different bình phươngs trên bảng là adjacent if they have a commtrên side. N N unit bình phươngs trên bảng là marked trong such a way thtại mỗi bình phương (marked hoặc unmarked) trên bảng là adjacent đến tại least one marked bình phương. Xác định smallest possible value của N N .Các cách giải: 1
  4. Bài 4Xác định tất cả pairs (n,p)(n,p) của số nguyên dương sao cho p p là a nguyên tố, n n không exceeded 2p2p , và (p−1)n+1(p-1)^n+1 là divisible bởi np−1 n^{p-1}.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Two đường tròns G1 G_1 và G2 G_2 là contained inside đường tròn G G , và là tangent đến G G tại distinct điểms M M và N N Bản dịch: , respectively. G1 G_1 passes through tâm của G2 G_2. The đường thẳng passing through two điểms của intersectitrên của G1 G_1 và G2 G_2 Bản dịch: meets G G tại A A và B B . The đường thẳngs MA MA và MB MB Bản dịch: meet G1 G_1 tại C C và D D , respectively. Chứng minh rằng CD CD là tangent đến G2 G_2.Các cách giải: 1
  6. Bài 6Xác định tất cả hàms f:R→R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f(x−f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)−1 f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 với mọi số thực x,y x,y .Các cách giải: 1