MathLabs

Bài 2

Cho n≥2 n\ge2 be a fixed nguyên. (a) Find least hằng số C C sao cho với mọi nonnegative số thực x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) Xác định when equality occurs cho thlà value của C C .
Bước 3 trên 5: Dùng AM–GM
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

The total tổng expands as Q+2R Q+2R .

(Q+2R)2≥8QR(Q+2R)^2\ge8QR
Phân tích chi tiết

Bản dịch: By Q+2R=(∑ixi)2 Q+2R=\left(\sum_i x_i\right)^2 và Q,2R≥0 Q,2R\ge0 Bản dịch: , AM–GM gives (Q+2R)2≥4Q(2R)=8QR(Q+2R)^2\ge4Q(2R)=8QR . Do đó left side là tại most (∑ixi)4/8(\sum_i x_i)^4/8.