MathLabs

Bài 2

Cho n≥2 n\ge2 be a fixed nguyên. (a) Find least hằng số C C sao cho với mọi nonnegative số thực x1,…,xn x_1,\dots,x_n , ∑1≤i<j≤nxixj(xi2+xj2)≤C(∑i=1nxi)4\sum_{1\le i<j\le n}x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\le C\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^4. (b) Xác định when equality occurs cho thlà value của C C .
Bước 5 trên 5: Bản dịch: Characterize equality
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Both inequalities phải be sharp simultaneously.

xi=xj>0,xℓ=0 (ℓ≠i,j)x_i=x_j>0,\quad x_\ell=0\ (\ell\ne i,j)
Phân tích chi tiết

Fhoặc a nonzero tuple, equality trong xi2+xj2≤Q x_i^2+x_j^2\le Q requires thtại tất cả variables except two members của contributing pair vanish. Equality trong AM–GM requires Q=2R Q=2R , which cho two remaining variables là xi=xj x_i=x_j . Ngược lại, thtại configuratitrên gives equality. (The all-zero tuple là trivial equality case.)