Bài 1

Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập các điểm (x,y) trong mặt phẳng, trong đó x và y là các số nguyên không âm và x+y<n. Mỗi điểm của T được tô đỏ hoặc xanh; nếu (x,y) đỏ thì mọi điểm của T có tọa độ không vượt quá (x,y) cũng đỏ. Gọi A là số cách chọn n điểm xanh có hoành độ đôi một khác nhau, còn B là số cách chọn n điểm xanh có tung độ đôi một khác nhau. Chứng minh A=B.

n

T

(x,y)

x

y

x+y<n

T

(x,y)

T

x

y

A

n

x

B

n

y

A=B

Bước 3 trên 3: Lấy tích

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Chuyển đa tập bằng nhau thành đẳng thức hai tích。

A=\prod_{x=0}^{n-1}a_x=\prod_{y=0}^{n-1}b_y=B

Phân tích chi tiết

Các hoành độ đôi một khác nhau nghĩa là chọn đúng một điểm ở mỗi cột; các tung độ đôi một khác nhau nghĩa là chọn đúng một điểm ở mỗi hàng. Hai đa tập số lượng bằng nhau nên . $x$ $y$ $A=B$