Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2002

Đề thi

Bài 1Cho n là số nguyên dương. Gọi T là tập các điểm (x,y) trong mặt phẳng, trong đó x và y là các số nguyên không âm và x+y<n. Mỗi điểm của T được tô đỏ hoặc xanh; nếu (x,y) đỏ thì mọi điểm của T có tọa độ không vượt quá (x,y) cũng đỏ. Gọi A là số cách chọn n điểm xanh có hoành độ đôi một khác nhau, còn B là số cách chọn n điểm xanh có tung độ đôi một khác nhau. Chứng minh A=B. $n$ $T$ $(x,y)$ $x$ $y$ $x+y<n$ $T$ $(x,y)$ $T$ $x$ $y$ $A$ $n$ $x$ $B$ $n$ $y$ $A=B$ Các cách giải: 1
Bài 2Cho $BC$ là đường kính của đường tròn $\omega$ tâm $O$ . Lấy $A$ trên $\omega$ sao cho $0^\circ<\angle AOB<120^\circ$ . Gọi $D$ là trung điểm cung $AB$ không chứa $C$ . Đường thẳng $\ell$ qua $O$ song song với $AD$ . Đường thẳng $\ell$ cắt $AC$ tại $J$ . Đường trung trực của $OA$ cắt $\omega$ tại $E$ và $F$ . Chứng minh $J$ là tâm nội tiếp tam giác $CEF$ .Các cách giải: 1
Bài 3Tìm mọi cặp số nguyên dương $m,n\ge3$ sao cho có vô hạn số nguyên dương $a$ để $\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ là một số nguyên.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n\ge2$ là số nguyên dương có các ước $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ . Chứng minh $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ luôn nhỏ hơn $n^2$ , và xác định khi nào nó là ước của $n^2$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi số thực $x,y,z,t$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $n\ge3$ là số nguyên dương. Gọi $C_1,C_2,\ldots,C_n$ là các đường tròn đơn vị trong mặt phẳng, có tâm tương ứng $O_1,O_2,\ldots,O_n$ . Nếu không có đường thẳng nào cắt quá hai đường tròn, chứng minh $\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}$ .Các cách giải: 1