Bài 6

Trước hết, hai đường tròn bất kỳ không giao nhau. Thật vậy, nếu hai đường tròn gặp nhau tại một điểm, chọn đường thẳng qua điểm đó và một điểm bất kỳ của đường tròn thứ ba; đường thẳng ấy sẽ cắt ba đường tròn. Cố định $i\ne j$. Gọi $\theta_{ij}$ là độ dài góc của mỗi trong hai cung trên $C_i$ mà tiếp tuyến tại đó cắt $C_j$. Tại đầu mút của một cung như vậy, khoảng cách từ $O_j$ đến tiếp tuyến bằng $1$. Điểm tiếp xúc lệch khỏi hướng vuông góc với $O_iO_j$ một nửa độ dài cung, nên hệ thức tam giác vuông là $1=O_iO_j\sin(\theta_{ij}/2)$, tức $\sin(\theta_{ij}/2)=1/O_iO_j$. Vì vậy $1/O_iO_j=\sin(\theta_{ij}/2)\le\theta_{ij}/2$.