MathLabs

第6問

n≥3n\ge3 を正整数とし、中心がそれぞれ O1,O2,…,OnO_1,O_2,\ldots,O_n である単位円 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n を平面上に取る。3つ以上の円と交わる直線が存在しないならば、∑1≤i<j≤n1OiOj≤(n−1)π4\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4} を証明せよ。
ステップ 2/3: 互いに素な弧を足す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

一つの接線が二つの組の弧に属することはない。そうなら一本の直線が三円と交わるからである。

αi=∑j≠i2θij\alpha_i=\sum_{j\ne i}2\theta_{ij}
詳しい解説

ii を固定すると、異なる jj に対応する弧は互いに素である。同じ点での接線が CjC_j と CkC_k の両方に交われば、三円と交わることになるからである。それらの和集合の角度長を αi\alpha_i とする。各 jj は長さ θij\theta_{ij} の弧を二つ寄与するので、αi=∑j≠i2θij\alpha_i=\sum_{j\ne i}2\theta_{ij}。次に、すべての閉円板の和集合の支持線となる接線をもつ CiC_i 上の点の角度長を βi\beta_i とする。支持線の方向を一周させると接点はこれらの支持弧を通るので、∑iβi=2π\sum_i\beta_i=2\pi。支持弧は組に対応する弧と交わらない。したがって ∑i(αi+βi)≤2nπ\sum_i(\alpha_i+\beta_i)\le2n\pi であり、∑iαi≤2(n−1)π\sum_i\alpha_i\le2(n-1)\pi を得る。