国際数学オリンピック · 2002年

問題

第1問正の整数 n に対し、x と y が非負整数で x+y<n を満たす点 (x,y) 全体を T とする。T の各点を赤または青に塗り、(x,y) が赤なら、第一座標が x 以下、第二座標が y 以下のすべての点も赤とする。x 座標が互いに異なる n 個の青点の選び方を A、y 座標が互いに異なる n 個の青点の選び方を B とする。A=B を証明せよ。 $n$ $T$ $(x,y)$ $x$ $y$ $x+y<n$ $T$ $(x,y)$ $T$ $x$ $y$ $A$ $n$ $x$ $B$ $n$ $y$ $A=B$ 解答: 1
第2問 $O$ を中心とする円 $\omega$ の直径を $BC$ とする。 $0^\circ<\angle AOB<120^\circ$ を満たす点 $A$ を $\omega$ 上に取る。 $C$ を含まない弧 $AB$ の中点を $D$ とする。 $\ell$ は $O$ を通り $AD$ に平行であり、 $\ell$ と $AC$ の交点を $J$ とする。 $OA$ の垂直二等分線と $\omega$ の交点を $E$ , $F$ とする。 $J$ が三角形 $CEF$ の内心であることを証明せよ。解答: 1
第3問 $m,n\ge3$ を満たす正整数の組で、 $\frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}$ が整数となる正整数 $a$ が無限に存在するものをすべて求めよ。解答: 1
第4問 $n\ge2$ を正整数とし、その約数を $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ とする。 $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ が常に $n^2$ より小さいことを示し、それが $n^2$ の約数となる場合を求めよ。解答: 1
第5問すべての実数 $x,y,z,t$ に対して $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ を満たす関数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ をすべて求めよ。解答: 1
第6問 $n\ge3$ を正整数とし、中心がそれぞれ $O_1,O_2,\ldots,O_n$ である単位円 $C_1,C_2,\ldots,C_n$ を平面上に取る。3つ以上の円と交わる直線が存在しないならば、 $\sum_{1\le i<j\le n}\frac1{O_iO_j}\le\frac{(n-1)\pi}{4}$ を証明せよ。解答: 1