第2問

$b>1$ とし、正整数である商を $k$ とする。分母を払うと $X^2-2kb^2X+k(b^3-1)=0$ を得て、その一根は $a$ である。ビエタの公式により他方の根は $a'=2kb^2-a=k(b^3-1)/a$ である。前者から $a'$ は整数であり、後者から $k>0$ かつ $b^3-1>0$ により $a'>0$ である。同じ多項式の等式から $a'^2=k(2a'b^2-b^3+1)$ も得られるので、新しい分母は正であり、商は再び $k$ である。