MathLabs

国際数学オリンピック · 2003年

問題

  1. 第1問S={1,2,…,106}S=\{1,2,\ldots,10^6\} の 101 要素部分集合を AA とする。SS 内の数 t1,t2,…,t100t_1,t_2,\ldots,t_{100} で、Aj={x+tj∣x∈A}A_j=\{x+t_j\mid x\in A\}（j=1,2,…,100j=1,2,\ldots,100）が互いに素となるものが存在することを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問a22ab2−b3+1\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} が正整数となる正整数組 (a,b)(a,b) をすべて求めよ。解答: 1
  3. 第3問凸六角形の各対向辺について、その中点間の距離 pp は二辺の長さの和の 32\frac{\sqrt3}{2} 倍である。この六角形が等角であることを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問円に内接する四角形 ABCDABCD を考える。P,Q,RP,Q,R をそれぞれ DD から直線 BC,CA,ABBC,CA,AB へ下ろした垂線の足とする。PQ=QRPQ=QR と、角 ABCABC と ADCADC の二等分線が線分 ACAC 上で交わることが同値であることを示せ。解答: 1
  5. 第5問正の整数 nn と実数 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n に対して、(∑i=1n∑j=1n∣xi−xj∣)2≤2(n2−1)3∑i=1n∑j=1n(xi−xj)2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}3\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2 を証明せよ。等号は x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n が等差数列をなすとき、かつそのときに限る。解答: 1
  6. 第6問p を素数とする。任意の整数 n に対して n^p-p が割り切れない素数 q が存在することを証明せよ。 pp qq nn np−pn^p-p qq解答: 1