MathLabs

Bài 3

Định nghĩa một hook là hình gồm sáu ô vuông đơn vị tạo bởi một hàng ba ô và một cột bốn ô chung một ô góc, cùng với một ô nữa gắn thêm ở đầu xa của hàng (hoặc bất kỳ hình nào thu được từ hình này bằng phép quay và phản xạ). Xác định tất cả các hình chữ nhật m×nm\times n có thể được phủ kín không chồng lấn và không thừa bởi các hook như vậy, không phần nào của hook nằm ngoài hình chữ nhật.
Bước 2 trên 6: Tính đủ: dựng hình chữ nhật từ các khối 3×43\times4
Bước trướcBước tiếp
3∣m, 4∣n  ⟹  m×n tiled by 3×4 blocks;3∣m,4∤m,3∤n,4∤n  ⟹  12∣m, n≥7=3a+4b3\mid m,\ 4\mid n \implies m\times n\text{ tiled by }3\times4\text{ blocks};\quad 3\mid m,4\nmid m,3\nmid n,4\nmid n\implies 12\mid m,\ n\ge7=3a+4b
Phân tích chi tiết

Nếu 3∣m3\mid m và 4∣n4\mid n, chia trực tiếp hình chữ nhật thành lưới các khối 3×43\times4. Nếu không, hai giả thiết 3∣m or 3∣n, 4∣m or 4∣n3\mid m\text{ or }3\mid n,\ 4\mid m\text{ or }4\mid n vẫn cho 12∣m12\mid m với ít nhất một trong hai cạnh, giả sử là mm; vì m,n∉{1,2,5}m,n\notin\{1,2,5\}, ta có n≥3n\ge3, nên nn có thể viết dưới dạng n=3a+4bn=3a+4b với các số nguyên không âm a,b≥0a,b\ge0, và theo hướng mm chia thành các dải rộng 33 hoặc 44, mỗi dải là hợp của các khối 3×43\times4 đặt nối tiếp (dùng 12∣m12\mid m). Dù thế nào hình chữ nhật cũng được lát bằng các khối 3×43\times4, do đó bằng hook theo Bước 1.