Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2004

Đề thi

Bài 1Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với $AB\ne AC$ . Đường tròn đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$ . Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$ . Các đường phân giác của góc $\angle BAC$ và góc $\angle MON$ cắt nhau tại $R$ . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BMR$ và $CNR$ có một điểm chung nằm trên cạnh $BC$ .Các cách giải: 1
Bài 2Tìm mọi đa thức $P$ với hệ số thực sao cho với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=0$ , ta có $P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c).$ Các cách giải: 1
Bài 3Định nghĩa một hook là hình gồm sáu ô vuông đơn vị tạo bởi một hàng ba ô và một cột bốn ô chung một ô góc, cùng với một ô nữa gắn thêm ở đầu xa của hàng (hoặc bất kỳ hình nào thu được từ hình này bằng phép quay và phản xạ). Xác định tất cả các hình chữ nhật $m\times n$ có thể được phủ kín không chồng lấn và không thừa bởi các hook như vậy, không phần nào của hook nằm ngoài hình chữ nhật.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n\ge 3$ là một số nguyên và $t_1,t_2,\dots,t_n$ là các số thực dương sao cho $n^2+1 > (t_1+t_2+\cdots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}\right).$ Chứng minh rằng $t_i,t_j,t_k$ là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi $i,j,k$ thỏa mãn $1\le i<j<k\le n$ .Các cách giải: 1
Bài 5Trong một tứ giác lồi $ABCD$ , đường chéo $BD$ không phân giác góc $\angle ABC$ cũng không phân giác góc $\angle CDA$ . Điểm $P$ nằm bên trong $ABCD$ và thỏa mãn $\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad\angle PDC=\angle BDA.$ Chứng minh rằng $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$ .Các cách giải: 1
Bài 6Ta gọi một số nguyên dương là alternating nếu mọi hai chữ số liên tiếp trong biểu diễn thập phân của nó có tính chẵn lẻ khác nhau. Tìm mọi số nguyên dương $n$ có một bội là số xen kẽ.Các cách giải: 1