MathLabs

Bài 3

Định nghĩa một hook là hình gồm sáu ô vuông đơn vị tạo bởi một hàng ba ô và một cột bốn ô chung một ô góc, cùng với một ô nữa gắn thêm ở đầu xa của hàng (hoặc bất kỳ hình nào thu được từ hình này bằng phép quay và phản xạ). Xác định tất cả các hình chữ nhật m×nm\times n có thể được phủ kín không chồng lấn và không thừa bởi các hook như vậy, không phần nào của hook nằm ngoài hình chữ nhật.
Bước 4 trên 6: Ghép các hook theo lỗ của chúng
Bước trướcBước tiếp
pair each hook withthe one filling its L-hole  ⟹  hooks come in pairs forming one of two 12-cell tiles\text{pair each hook \quad\text{with}\quad the one filling its L-hole} \implies \text{hooks come in pairs forming one of two }12\text{-cell tiles}
Phân tích chi tiết

Gọi ô lõm duy nhất của một hook là ô trong. Cố định một hook H và chọn tọa độ sao cho sáu ô của nó là H={(0,0),(0,1),(0,2),(1,2),(2,1),(2,2)}H=\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,2),(2,1),(2,2)\}; ô trong là ô trung tâm bị khuyết của hộp 3×33\times3. Hook phủ ô đó phải là một phép tịnh tiến, quay hoặc phản xạ của H, đồng thời không được giao với H. Liệt kê tám hướng rồi tịnh tiến để chúng chứa ô trong, ta chỉ còn đúng hai cấu hình đối ngẫu (một cấu hình và ảnh phản xạ của nó); trong mỗi cấu hình, ô trong của hook thứ hai nằm trong sáu ô của H. Vì vậy hook phủ ô trong của H được ghép ngược lại với H, nên mỗi hook thuộc đúng một cặp. Hai hợp của các cặp này chính là hai loại tile 12 ô trong hình nguồn; kiểm tra tọa độ cũng cho thấy không thể có hướng thứ ba.