MathLabs

Bài 3

Định nghĩa một hook là hình gồm sáu ô vuông đơn vị tạo bởi một hàng ba ô và một cột bốn ô chung một ô góc, cùng với một ô nữa gắn thêm ở đầu xa của hàng (hoặc bất kỳ hình nào thu được từ hình này bằng phép quay và phản xạ). Xác định tất cả các hình chữ nhật m×nm\times n có thể được phủ kín không chồng lấn và không thừa bởi các hook như vậy, không phần nào của hook nằm ngoài hình chữ nhật.
Bước 6 trên 6: Kết luận cả hai điều kiện chia hết
Bước trướcBước tiếp
applying Step 5 to both 6a×2b-type sub-rectangles  ⟹  3∣m or 3∣n,4∣m or 4∣n\text{applying Step 5 to both }6a\times2b\text{-type sub-rectangles} \implies 3\mid m\text{ or }3\mid n,\quad 4\mid m\text{ or }4\mid n
Phân tích chi tiết

Việc ghép cặp cho 12∣mn12\mid mn. Vì vậy 33 chia hết ít nhất một trong m,nm,n. Còn phải chứng minh một cạnh chia hết cho 44. Giả sử ngược lại 4∤m4\nmid m và 4∤n4\nmid n. Do 4∣mn4\mid mn, cả hai cạnh đều chẵn; sau khi đổi chỗ nếu cần, cạnh chia hết cho 33 có dạng m=6am=6a và cạnh kia là n=2bn=2b. Các giả thiết 4∤m,n4\nmid m,n cho thấy a,ba,b đều lẻ. Do đó số tile 12 ô là mn/12=abmn/12=ab, là số lẻ. Nhưng Bước 5 và lập luận tương tự khi đổi hàng với cột cho thấy số tile của cả hai loại đều chẵn, nên tổng của chúng chẵn, mâu thuẫn. Vậy 4∣m4\mid m hoặc 4∣n4\mid n; kết hợp với kết luận về diện tích, ta được 3∣m3\mid m hoặc 3∣n3\mid n và 4∣m4\mid m hoặc 4∣n4\mid n.